Video Binário - Bissetrizes (Questão)

Como estão todos? :)

O post de hoje será algo novo, não vai ser puramente um texto, mas um video!

Sendo eu estudante de Engenharia de não de Design, não esperem nada muito bonito, bem trabalhado ou o que seja. :P

(Para melhor visualização, assista-o em tela cheia ou na própria página do YouTube)

Para uma leitura complementar, baixe o pdf que escrevi neste link.

Desigualdade de Jensen

Olá povos, como estamos? :)

O assunto de hoje é desigualdades.

Mais precisamente, uma das desigualdades mais fortes que conheço, a desigualdade de Jensen.

A desigualdade de Jensen trata de funções estritamente convexas ou estritamente côncavas, então antes da desigualdade em si, vamos definir o que é cada função.

- Uma função é dita convexa em um intervalo I se

- Uma função é dita estritamente convexa em um intervalo I se

- Uma função é dita côncava em um intervalo I se

- Uma função é dita estritamente côncava em um intervalo I se

Conhecendo a diferença da função côncava para a convexa e da concavidade normal para a estrita, trataremos apenas da função estritamente convexa a partir daqui. A estritamente côncava é análoga.

Enunciado da desigualdade:

Dada uma função f(x), convexa em um intervalo I, dadas n abiscissas e reais com , então:

Com igualdade se, e somente se,

Caso a função seja côncava, inverte-se o sinal da desigualdade.

A prova será feita por indução.

Pela própria definição de função estritamente crescente, dá para perceber que a desigualdade é válida para n = 2. Assim como o caso de igualdade.

Supondo válido para n = k, deve-se mostrar que é válido para k+1. Daí, considere tais que , uma função f(x) convexa em um intervalo I e . Porém:

Fazendo , tem-se que e , logo portanto , por hipótese de indução. Com isso:

Mas, por definição de função estritamente convexa:

Por fim(ufa):

Com igualdade se, e somente se, . (Ao leitor: por que?)

Portanto fica provado para todo n.

Com isso então fica provada a desigualdade de Jensen para funções convexas. Para funções côncavas, basta apenas sair trocando os sinais por .

Em breve posto uma interpretação geométrica e postarei alguns resultados demonstrado por esta desigualdade.

Bom descanso a todos. Fiquem na paz.

Equações de 1º, 2º, 3º e 4º graus

Como sabido pelo Abel's Impossibility Theorem, também chamado de Teorema de Abel-Ruffini, as equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco não possuem solução algébrica ("fórmula fechada"). Nos focaremos nas outras quatro possibilidades.

Pré-considerações:

i) Dada uma função , tem-se:

Mas , daí:

Ou seja, dado um polinômio f(x), é possível calcular f(x+k) apenas com as derivadas de f. Utilizaremos este resultado, chamado de Transformada Aditiva, mais precisamente nas equações de terceiro e quarto grau.

ii) Por questão de simplicidade, consideraremos apenas equações polinômiais cujo coeficiente líder vale 1. Então dada a equação , então . Caso contrário, divide-se toda a equação por e faz-se e o comportamento será o desejado.

Às equações então..

Equações de 1º grau

Amigas mais simples, paraíso de todo bom pesquisador, sua solução não envolve mistério algum.

Sem graça? É.. concordo. Subiremos o nível, então.

Equações de 2º grau

Também conhecidas, a solução genérica de uma equação de segundo grau é a mais complexa estudada no ensino médio. Não por ser particularmente difícil, mas pelas outras serem extremamente mais complicadas e não valerem a pena aos estudantes médios.

Sua solução consiste em completar quadrados perfeitos.

Ou:

Resultando, daí, nas duas soluções da equação de segundo grau.

Equações de 3º grau

Ahh, agora o momento que muitos dos leitores esperavam. A tão temida equação do terceiro grau. De onde surge aquela solução monstruosa? Como se chega aquilo? Explicarei agora.

Considere a equação de terceiro grau em x. Pode-se fazer a mudança de variável x = y+k, para algum k, e utilizar a transformada aditiva. Daí:

Mas , então se tomarmos , então o coeficiente do termo em segundo grau se anula. Com isso pode-se reduzir a equação a:

Onde e .

Certo, temos a equação no ponto inicial de sua solução. O que se faz agora?

Considere dois números u e v tais que y = u+v. Desconhecemos y, então devemos encontrar alguma relação entre u e v de forma que possamos encontrar seus valores e com isso encontrar y. Continuaremos algebrizando, então...

Olha que beleza, se forçarmos e , encontramos duas relações para estes números. Melhor ainda, encontramos uma relação de soma e produto, pois . Com isto, pode-se dizer que e são as soluções da equação:

e , daí:

e

Daí é uma das soluções. Após uma fatoração descobrimos que as outras soluções são dadas por e , onde

Logo, as soluções de são:

Com isso resolve-se a equação inicial .

Equações de 4º grau

Preparado para esta equação? Não? Mas não se preocupe. Esta última não terá solução até o final. Por dois motivos faço isto.

1º - Honestamente eu nunca sequer terminei as contas na equação genérica. Não vale a pena resolver as contas na ponta do lápis. Mas vale saber como se resolve e assim implementar em algum software.

2º - O leitor provavelmente perderia a paciência no meio da solução por ser grande demais.

Então porque eu me daria ao trabalho de dizer que trarei a solução se eu não vou resolver a equação? Pelo simples motivo de que eu de fato trarei a solução. Mostrarei o caminho das pedras nesta equação e, para alguma implementação computacional, a solução será imediata.

Considere a equação . Através de uma manipulação semelhante à da equação cúbica, transformaremos esta equação em:

O objetivo desta solução é transformar a equação logo acima em uma equação do tipo , pois com esta equação, achar as 4 soluções vira uma tarefa simples. Expandindo:

Com isso, arma-se o sistema:

Isolando a variável u, tem-se:

Que é uma equação do terceiro grau. Ou seja, para resolver a de 4º grau, a de 3º grau deve ser dominada. Por isto que a partir deste ponto não passa a valer a pena resolver a equação de 4º (talvez nem de 3º grau) na mão.

Então é isso.

Apresentadas as maneiras de soluções das quatro equações polinomiais cuja solução pode ser expressa em radicais, espero que tenham gostado.

Senhores e senhoritas, até a próxima postagem.