Desigualdade de Jensen

Olá povos, como estamos? :)

O assunto de hoje é desigualdades.

Mais precisamente, uma das desigualdades mais fortes que conheço, a desigualdade de Jensen.

A desigualdade de Jensen trata de funções estritamente convexas ou estritamente côncavas, então antes da desigualdade em si, vamos definir o que é cada função.

- Uma função é dita convexa em um intervalo I se

- Uma função é dita estritamente convexa em um intervalo I se

- Uma função é dita côncava em um intervalo I se

- Uma função é dita estritamente côncava em um intervalo I se

Conhecendo a diferença da função côncava para a convexa e da concavidade normal para a estrita, trataremos apenas da função estritamente convexa a partir daqui. A estritamente côncava é análoga.

Enunciado da desigualdade:

Dada uma função f(x), convexa em um intervalo I, dadas n abiscissas e reais com , então:

Com igualdade se, e somente se,

Caso a função seja côncava, inverte-se o sinal da desigualdade.

A prova será feita por indução.

Pela própria definição de função estritamente crescente, dá para perceber que a desigualdade é válida para n = 2. Assim como o caso de igualdade.

Supondo válido para n = k, deve-se mostrar que é válido para k+1. Daí, considere tais que , uma função f(x) convexa em um intervalo I e . Porém:

Fazendo , tem-se que e , logo portanto , por hipótese de indução. Com isso:

Mas, por definição de função estritamente convexa:

Por fim(ufa):

Com igualdade se, e somente se, . (Ao leitor: por que?)

Portanto fica provado para todo n.

Com isso então fica provada a desigualdade de Jensen para funções convexas. Para funções côncavas, basta apenas sair trocando os sinais por .

Em breve posto uma interpretação geométrica e postarei alguns resultados demonstrado por esta desigualdade.

Bom descanso a todos. Fiquem na paz.

Equações de 1º, 2º, 3º e 4º graus

Como sabido pelo Abel's Impossibility Theorem, também chamado de Teorema de Abel-Ruffini, as equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco não possuem solução algébrica ("fórmula fechada"). Nos focaremos nas outras quatro possibilidades.

Pré-considerações:

i) Dada uma função , tem-se:

Mas , daí:

Ou seja, dado um polinômio f(x), é possível calcular f(x+k) apenas com as derivadas de f. Utilizaremos este resultado, chamado de Transformada Aditiva, mais precisamente nas equações de terceiro e quarto grau.

ii) Por questão de simplicidade, consideraremos apenas equações polinômiais cujo coeficiente líder vale 1. Então dada a equação , então . Caso contrário, divide-se toda a equação por e faz-se e o comportamento será o desejado.

Às equações então..

Equações de 1º grau

Amigas mais simples, paraíso de todo bom pesquisador, sua solução não envolve mistério algum.

Sem graça? É.. concordo. Subiremos o nível, então.

Equações de 2º grau

Também conhecidas, a solução genérica de uma equação de segundo grau é a mais complexa estudada no ensino médio. Não por ser particularmente difícil, mas pelas outras serem extremamente mais complicadas e não valerem a pena aos estudantes médios.

Sua solução consiste em completar quadrados perfeitos.

Ou:

Resultando, daí, nas duas soluções da equação de segundo grau.

Equações de 3º grau

Ahh, agora o momento que muitos dos leitores esperavam. A tão temida equação do terceiro grau. De onde surge aquela solução monstruosa? Como se chega aquilo? Explicarei agora.

Considere a equação de terceiro grau em x. Pode-se fazer a mudança de variável x = y+k, para algum k, e utilizar a transformada aditiva. Daí:

Mas , então se tomarmos , então o coeficiente do termo em segundo grau se anula. Com isso pode-se reduzir a equação a:

Onde e .

Certo, temos a equação no ponto inicial de sua solução. O que se faz agora?

Considere dois números u e v tais que y = u+v. Desconhecemos y, então devemos encontrar alguma relação entre u e v de forma que possamos encontrar seus valores e com isso encontrar y. Continuaremos algebrizando, então...

Olha que beleza, se forçarmos e , encontramos duas relações para estes números. Melhor ainda, encontramos uma relação de soma e produto, pois . Com isto, pode-se dizer que e são as soluções da equação:

e , daí:

e

Daí é uma das soluções. Após uma fatoração descobrimos que as outras soluções são dadas por e , onde

Logo, as soluções de são:

Com isso resolve-se a equação inicial .

Equações de 4º grau

Preparado para esta equação? Não? Mas não se preocupe. Esta última não terá solução até o final. Por dois motivos faço isto.

1º - Honestamente eu nunca sequer terminei as contas na equação genérica. Não vale a pena resolver as contas na ponta do lápis. Mas vale saber como se resolve e assim implementar em algum software.

2º - O leitor provavelmente perderia a paciência no meio da solução por ser grande demais.

Então porque eu me daria ao trabalho de dizer que trarei a solução se eu não vou resolver a equação? Pelo simples motivo de que eu de fato trarei a solução. Mostrarei o caminho das pedras nesta equação e, para alguma implementação computacional, a solução será imediata.

Considere a equação . Através de uma manipulação semelhante à da equação cúbica, transformaremos esta equação em:

O objetivo desta solução é transformar a equação logo acima em uma equação do tipo , pois com esta equação, achar as 4 soluções vira uma tarefa simples. Expandindo:

Com isso, arma-se o sistema:

Isolando a variável u, tem-se:

Que é uma equação do terceiro grau. Ou seja, para resolver a de 4º grau, a de 3º grau deve ser dominada. Por isto que a partir deste ponto não passa a valer a pena resolver a equação de 4º (talvez nem de 3º grau) na mão.

Então é isso.

Apresentadas as maneiras de soluções das quatro equações polinomiais cuja solução pode ser expressa em radicais, espero que tenham gostado.

Senhores e senhoritas, até a próxima postagem.