Desigualdade de Jensen

Olá povos, como estamos? :)

O assunto de hoje é desigualdades.

Mais precisamente, uma das desigualdades mais fortes que conheço, a desigualdade de Jensen.

A desigualdade de Jensen trata de funções estritamente convexas ou estritamente côncavas, então antes da desigualdade em si, vamos definir o que é cada função.

- Uma função é dita convexa em um intervalo I se

- Uma função é dita estritamente convexa em um intervalo I se

- Uma função é dita côncava em um intervalo I se

- Uma função é dita estritamente côncava em um intervalo I se

Conhecendo a diferença da função côncava para a convexa e da concavidade normal para a estrita, trataremos apenas da função estritamente convexa a partir daqui. A estritamente côncava é análoga.

Enunciado da desigualdade:

Dada uma função f(x), convexa em um intervalo I, dadas n abiscissas e reais com , então:

Com igualdade se, e somente se,

Caso a função seja côncava, inverte-se o sinal da desigualdade.

A prova será feita por indução.

Pela própria definição de função estritamente crescente, dá para perceber que a desigualdade é válida para n = 2. Assim como o caso de igualdade.

Supondo válido para n = k, deve-se mostrar que é válido para k+1. Daí, considere tais que , uma função f(x) convexa em um intervalo I e . Porém:

Fazendo , tem-se que e , logo portanto , por hipótese de indução. Com isso:

Mas, por definição de função estritamente convexa:

Por fim(ufa):

Com igualdade se, e somente se, . (Ao leitor: por que?)

Portanto fica provado para todo n.

Com isso então fica provada a desigualdade de Jensen para funções convexas. Para funções côncavas, basta apenas sair trocando os sinais por .

Em breve posto uma interpretação geométrica e postarei alguns resultados demonstrado por esta desigualdade.

Bom descanso a todos. Fiquem na paz.